Jedinična kružnica

Jedinična, brojevna ili trigonometrijska kružnica definirana je kao kružnica sa središtem u ishodištu koordinatnog sustava (0, 0) i polumjerom odnosno radijusom 1. Jedinična kružnica siječe x-os u točkama (-1,0) i (1,0) i y-os u točkama (0, 1) i (0, -1).

Ortogonalna projekcija točke $A(x,y)$ na x-os je $A_{1}(x,0)$ , a na y-os $A_{2}(0,y)$ . Dužine $OA_{1}$ i $OA_{2}$ su katete pravokutnog trokuta $OA_{1}A_{2}$ čije su dužine x i y.

$\cos \theta$ je horizontalna, a $\sin \theta$ vertikalna dužina. Kut $\theta$ je u standardnom položaju. Prema definicijama funkcija sinus i kosinus dobivamo sljedeće jednakosti:

\sin \theta ={\frac {y}{1}}=y

\cos \theta ={\frac {x}{1}}=x

\operatorname {tg} \theta ={\frac {y}{x}}

Ako su (x, y) točke na kružnici u prvom kvadrantu, onda su x i y katete pravokutnog trokuta (isječci na x i y osi, respektivno) čija je hipotenuza (polumjer) 1. Prema Pitagorinom poučku x i y zadovoljavaju jednadžbu

x^{2}+y^{2}=1

Budući da uvijek vrijedi $x^{2}=(-x)^{2}$ , prethodna jednadžba vrijedi za sve točke (x, y) na jediničnoj kružnici, a ne samo za prvi kvadrant.

Trigonometrijske funkcije

Uz pomoć trigonometrijskih funkcija kod pravokutnih trokuta mogu se prikazati odnosi između koordinata i kutova na jediničnoj kružnici. Trigonometrijske funkcije sinus i kosinus mogu se na jediničnoj kružnici definirati na sljedeći način: ako je (x, y) točka na jediničnoj kružnici i ako dužina od ishodišta do točke (x, y) čini kut t s pozitivnim dijelom apscise (u smjeru suprotnim od smjera kazaljke na satu), tada vrijedi:

\cos \theta =x

\sin \theta =y

Jednadžba $x^{2}+y^{2}=1$ daje poznatu relaciju

\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1

	α	sin α	cos α	tg α	cotg α
1. kvadrant	0–90°	+	+	+	+
2. kvadrant	90–180°	+	−	−	−
3. kvadrant	180–270°	−	−	+	+
4. kvadrant	270–360°	−	+	−	−

Jedinična kružnica također daje uvid da su sinus i kosinus periodične funkcije jednakostima:

\cos t=\cos \left(2k\pi +t\right)

\sin t=\sin \left(2k\pi +t\right)

za svaki cijeli broj k.

Ove jednakosti polaze od činjenice da x i y koordinate točke na krugu ostaju iste ako kut t napravi bilo koji broj okreta po kružnici (1 okret = 360° = 2π radijana).

Pri radu s pravokutnim trokutima, sinus i kosinus, kao i ostale trigonometrijske funkcije imaju smisla samo ako je kut veći od 0 i manji od ${\frac {\pi }{2}}$ . Koristeći jediničnu kružnicu, ove funkcije dobivaju smisao za bilo koju realnu vrijednost kuta. Ako je točka A točka jedinične kružnice onda su njene koordinate

A(0)=A(2\pi )=(1,0)

A(\pi /2)=(0,1)

A(\pi )=(-1,0)

Druge točke su određene koordinatama $\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)$

Zamjenom $t={\frac {p}{q}}$ dobivamo Pitagorine trojke $(q^{2}-p^{2},2pq,q^{2}+p^{2})$ .

Kompleksna ravnina

U kompleksnoj ravnini jedinična kružnica predstavljena je skupom $G\subset \mathbb {C}$

G=\{z:\operatorname {Re} (z)^{2}+\operatorname {Im} (z)^{2}=1\}=\{z:z=e^{i\phi },0\leq \phi <2\pi \}

Jedinična kružnica pojavljuje se i u polarnom rastavu kompleksnog broja:

z=re^{i\varphi }=r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)=r\operatorname {cis} \phi

Faktor e^iφ koji opisuje fazu broja nalazi se na jediničnoj kružnici.

Ta kružnica ima i druga korisna svojstva. Primjerice, bilo koja realna potencija broja na jediničnoj kružnici također se nalazi na jediničnoj kružnici, što olaškava potenciranje kompleksnih brojeva:

z^{a}=r^{a}\left(e^{i\varphi }\right)^{a}=r^{a}e^{ia\varphi }=r^{a}\operatorname {cis} a\varphi

Vidi i

Izvori